AcWing 858. Prim算法求最小生成树

小白

2022-08-07

算法 AcWing

题目

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 $G=(V,E)$ ，其中 $V$ 表示图中点的集合， $E$ 表示图中边的集合， $n=|V|$ ， $m=|E|$ 。

由 $V$ 中的全部 $n$ 个顶点和 $E$ 中 $n−1$ 条边构成的无向连通子图被称为 $G$ 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 $G$ 的最小生成树。

输入格式
第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$ 。

接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $u$ , $v$ , $w$ ，表示点 $u$ 和点 $v$ 之间存在一条权值为 $w$ 的边。

输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围
$1≤n≤500$ ,
$1≤m≤10^5$ ,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 $10000$ 。

输入样例：

输出样例：

思路

Prim 算法做的事情是：给定一个无向图，在图中选择若干条边把图的所有节点连起来。要求边长之和最小。在图论中，叫做求最小生成树。

Prim 算法采用的是一种贪心的策略。

每次将离连通部分的最近的点和点对应的边加入的连通部分，连通部分逐渐扩大，最后将整个图连通起来，并且边长之和最小。

我们将图中各个节点用数字 1 ~ n 编号。

要将所有景点连通起来，并且边长之和最小，步骤如下：

步骤1
1. 用一个 state 数组表示节点是否已经连通。state[i] 为真，表示已经连通，state[i] 为假，表示还没有连通。初始时，state 各个元素为假。即所有点还没有连通。
2. 用一个 dist 数组保存各个点到连通部分的最短距离，dist[i] 表示 i 节点到连通部分的最短距离。初始时，dist 数组的各个元素为无穷大。
3. 用一个 pre 数组保存节点的是和谁连通的。pre[i] = k 表示节点 i 和节点 k 之间需要有一条边。初始时，pre 的各个元素置为 -1。
步骤2
- 从 1 号节点开始扩充连通的部分，所以 1 号节点与连通部分的最短距离为 0，即 dist[1] 置为 0。
步骤3
1. 遍历 dist 数组，找到一个还没有连通起来，但是距离连通部分最近的点，假设该节点的编号是 i。i节点就是下一个应该加入连通部分的节点，stata[i] 置为 1。
2. 用青色点表示还没有连通起来的点，红色点表示连通起来的点。
3. 这里青色点中距离最小的是 dist[1]，因此 state[1] 置为 1。
步骤4
1. 遍历所有与 i 相连但没有加入到连通部分的点 j，如果 j 距离连通部分的距离大于 i、j 之间的距离，即 dist[j] > w[i][j]（w[i][j] 为 i、j 节点之间的距离），则更新 dist[j] 为 w[i][j]。这时候表示，j 到连通部分的最短方式是和 i 相连，因此，更新 pre[j] = i。
2. 与节点 1 相连的有 2， 3， 4 号节点。1->2 的距离为 100，小于 dist[2]，dist[2] 更新为 100，pre[2] 更新为1。1->4 的距离为 140，小于 dist[4]，dist[4] 更新为 140，pre[2] 更新为1。1->3 的距离为 150，小于 dist[3]，dist[3] 更新为 150，pre[3] 更新为1。
步骤5
1. 重复 3 4步骤，直到所有节点的状态都被置为 1.
2. 这里青色点中距离最小的是 dist[2]，因此 state[2] 置为 1。
3. 与节点 2 相连的有 5， 4号节点。2->5 的距离为 80，小于 dist[5]，dist[5] 更新为 80，pre[5] 更新为 2。2->4 的距离为 80，小于 dist[4]，dist[4] 更新为 80，pre[4] 更新为2。
4. 选 dist[4]，更新 dist[3]，dist[5]，pre[3]，pre[5]。
5. 选 dist[5]，没有可更新的。
6. 选 dist[3]，没有可更新的。
步骤6
- 此时 dist 数组中保存了各个节点需要修的路长，加起来就是。pre 数组中保存了需要选择的边。

伪代码

int dist[n],state[n],pre[n];
dist[1] = 0;
for(i : 1 ~ n)
{
    t <- 没有连通起来，但是距离连通部分最近的点;
    state[t] = 1;
    更新 dist 和 pre;
}

题解 - yxc版本

朴素版Prim算法， $O(n^2)$

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 510, M = 100010, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int g[N][N], dist[N];
bool st[N];

int prim()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                 t = j;
        if (dist[t] == INF) return INF;
        st[t] = true;
        res += dist[t];
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
    }
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(g, 0x3f, sizeof g);
    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
    }

    int res = prim();
    if (res == INF) puts("impossible");
    else printf("%d\n", res);
    return 0;
}

Kruskal算法 $O(m\log m)$

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 510, M = 100010;

int n, m;
struct Edge
{
    int a, b, c;
    bool operator< (const Edge& t) const
    {
        return c < t.c;
    }
}e[M];
int p[N];

int find(int x)
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
        scanf("%d%d%d", &e[i].a, &e[i].b, &e[i].c);
    sort(e, e + m);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;

    int res = 0, cnt = n;
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a = e[i].a, b = e[i].b, c = e[i].c;
        if (find(a) != find(b))
        {
            res += c;
            cnt -- ;
            p[find(a)] = find(b);
        }
    }

    if (cnt > 1) puts("impossible");
    else printf("%d\n", res);

    return 0;
}

yxc - baymin注释版本

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
 
using namespace std;
 
const int N = 510, M = 100010, INF = 0x3f3f3f3f;
 
int n, m;
int g[N][N], dist[N]; // g[N][N]表示邻接矩阵 dist[i]表示节点i到连通部分的最短距离
bool st[N]; // st数组表示节点是否已经连通
 
int prim()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist); // 初始化所有距离为无穷大
    dist[1] = 0; // 1号节点与连通部分的最短距离为1
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int t = -1; // t 初始值置为-1 表示还没有找到符合条件(节点没有确定连通且距离连通部分最近)的点
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                 t = j;
        if (dist[t] == INF) return INF;
        st[t] = true;
        res += dist[t];
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
    }
    return res;
}
 
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(g, 0x3f, sizeof g); // 初始化邻接矩阵
    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c); // 输入数据的同时直接赋值给邻接矩阵
    }
 
    int res = prim();
    if (res == INF) puts("impossible"); // 如果res返回无穷大，则表示不存在，直接输出impossible
    else printf("%d\n", res);
    return 0;
}

其他人的版本

//2022.6.1 更新

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 510;
int g[N][N];//存储图
int dt[N];//存储各个节点到生成树的距离
int st[N];//节点是否被加入到生成树中
int pre[N];//节点的前去节点
int n, m;//n 个节点，m 条边

void prim()
{
    memset(dt,0x3f, sizeof(dt));//初始化距离数组为一个很大的数（10亿左右）
    int res= 0;
    dt[1] = 0;//从 1 号节点开始生成 
    for(int i = 0; i < n; i++)//每次循环选出一个点加入到生成树
    {
        int t = -1;
        for(int j = 1; j <= n; j++)//每个节点一次判断
        {
            if(!st[j] && (t == -1 || dt[j] < dt[t]))//如果没有在树中，且到树的距离最短，则选择该点
                t = j;
        }

        //2022.6.1 发现测试用例加强后，需要判断孤立点了
        //如果孤立点，直返输出不能，然后退出
        if(dt[t] == 0x3f3f3f3f) {
            cout << "impossible";
            return;
        }


        st[t] = 1;// 选择该点
        res += dt[t];
        for(int i = 1; i <= n; i++)//更新生成树外的点到生成树的距离
        {
            if(dt[i] > g[t][i] && !st[i])//从 t 到节点 i 的距离小于原来距离，则更新。
            {
                dt[i] = g[t][i];//更新距离
                pre[i] = t;//从 t 到 i 的距离更短，i 的前驱变为 t.
            }
        }
    }

    cout << res;

}

void getPath()//输出各个边
{
    for(int i = n; i > 1; i--)//n 个节点，所以有 n-1 条边。

    {
        cout << i <<" " << pre[i] << " "<< endl;// i 是节点编号，pre[i] 是 i 节点的前驱节点。他们构成一条边。
    }
}

int main()
{
    memset(g, 0x3f, sizeof(g));//各个点之间的距离初始化成很大的数
    cin >> n >> m;//输入节点数和边数
    while(m --)
    {
        int a, b, w;
        cin >> a >> b >> w;//输出边的两个顶点和权重
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b],w);//存储权重
    }

    prim();//求最下生成树
    //getPath();//输出路径
    return 0;
}

参考链接

https://www.acwing.com/solution/content/38312/